Sistem koordinat Kartesius

Gambar 1 - Sistem koordinat Kartesius. Terdapat empat titik yang ditandai: (2,3) titik hijau, (-3,1) titik merah, (-1.5,-2.5) titik biru, dan (0,0), titik sumber, yang berwarna ungu.

Dalam matematika, Sistem koordinat Kartesius dipergunakan untuk memilihkan setiap titik dalam aspek dengan memanfaatkan dua bilangan yang biasa dinamakan koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 1).

Sistem koordinat Kartesius dapat pula dipergunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan memanfaatkan tiga sumbu (sumbu x, y, dan z).//*[@id="content"]

Gambar 2 - Sistem koordinat Kartesius disertai lingkaran merah yang berjari-jari 2 yang berpusat pada titik sumber (0,0). Persamaan lingkaran merah ini yaitu x² + y² = 4.

Dengan memanfaatkan sistem koordinat Kartesius, bentuk-bentuk geometri seperti kurva dapat diekspresikan dengan persamaan aljabar. Sebagai contoh, lingkaran yang berjari-jari 2 dapat diekspresikan dengan persamaan x² + y² = 4 (lihat Gambar 2).

Istilah Kartesius dipergunakan untuk mengenang pandai matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya akbar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius yaitu latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Ide landasan sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada anggota kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan memanfaatkan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Lihat koordinat (matematika) untuk sistem-sistem koordinat lain seperti sistem koordinat polar.

Sistem koordinat dua dimensi

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya diberikan definisi dengan dua sumbu yang bergantian bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu aspek (bidang xy). Sumbu horizontal diberi etiket x, dan sumbu vertikal diberi etiket y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang acap diberi etiket z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

Titik pertemuan selang kedua sumbu, titik sumber, umumnya diberi etiket 0. Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x ditulis (absis), lalu diiringi dengan nilai y (ordinat). Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Gambar 3 - Keempat kuadran sistem koordinat Kartesius. Panah yang sah pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut.

Yang dipilih huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat kesudahan (seperti x dan y) dipergunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal dipergunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Sebagai contoh, pada Gambar 3, titik P sah pada koordinat (3,5).

Karena kedua sumbu bertegak lurus satu sama lain, aspek xy terbagi terjadi empat anggota yang dinamakan kuadran, yang pada Gambar 3 ditandai dengan angka I, II, III, dan IV. Menurut konvensi yang berlanjut, keempat kuadran diurutkan mulai dari yang kanan atas (kuadran I), melingkar melawan arah jarum jam (lihat Gambar 3). Pada kuadran I, kedua koordinat (x dan y) bermutu positif. Pada kuadran II, koordinat x bermutu negatif dan koordinat y bermutu positif. Pada kuadran III, kedua koordinat bermutu negatif, dan pada kuadran IV, koordinat x bermutu positif dan y negatif (lihat tabel dibawah ini).