Fraktal

Himpunan Mandelbrot, dinamakan berdasarkan penemunya, yaitu contoh fraktal yang tersohor.
Segitiga Sierpinski, suatu fraktal, bisa dipecah dijadikan tiga segitiga Sierpinski (masing-masing diberi warna berbeda).

Fraktal yaitu benda geometris yang kasar pada segala skala, dan kelihatan mampu "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah dijadikan beberapa anggota yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dituturkan ada detail yang tak sampai dan mampu ada wujud serupa diri pada tingkat perbesaran yang berlainan. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam ronde rekursif atau iteratif.

Bahasa Inggris dari fraktal yaitu fractal. Sebutan fractal dibuat oleh Benoît Mandelbrot pada tahun 1975 dari istilah Latin fractus yang berarti "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan sebutan tersebut, nama umum untuk wujud semacamnya (misalnya bunga salju Koch) yaitu kurva monster.

Bermacam jenis fraktal pada awalnya ditelaah sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal yaitu cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu mengemukakan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konseptual fraktal muncul masa definisi-definisi tradisional geometri Euklides dan kalkulus gagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut.

Sejarah

Bunga salju Koch yaitu gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak sampai. Setiap kali segitiga baru ditambahkan masa membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch yaitu tak sampai.

Kontribusi dari analisis klasik

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan ditelaah jauh sebelum istilah fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut hendak disebut fraktal di masa sekarang. Pada tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan ruang lingkup Weierstrass yang sangat tidak terwujud dan analitis, memberikan ruang lingkup yang semakin geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan semakin jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

Georg Cantor memberi contoh tentang bermacam himpunan anggota dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di anggota kompleks telah diselidiki pada pengahabisan zaman 19 dan awal zaman 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak mampu melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.

Aspek dari deskripsi himpunan

Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi supaya memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk anggota dari gerakan di pertengahan awal zaman kedua puluh yang ada tujuan membikin teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang mampu mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Ruang lingkup dimensi Hausdorff secara alami yaitu geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa penduduk termasuk Besicovitch, yang berlainan dengan investigasi logis yang membangun beberapa agung teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua anggota tersebut ditelaah sementara beberapa waktu setelahnya, terpenting oleh para spesialis.

Kontribusi Mandelbrot

Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam bermacam tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan upaya meningkatkan mutu dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari bermacam topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Pada tahun 1975, Mandelbrot menggunakan istilah fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak ada dimensi yang jelas. Dia menurunkan istilah fractal dari istilah Latin fractus yang berarti "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Istilah fractal bukan diturunkan dari istilah fractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak penduduk. Istilah fractional sendiri juga diturunkan dari fractus.

Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, mampu disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk memperlihatkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak anggota matematika dan sains, jauh semakin agung dan luas dari yang sebelumnya dianggarkan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terpenting yaitu dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh yaitu menggambar cara Newton sebagai fraktal yang ternyata memperlihatkan bahwa batas selang penamatan yang berlainan yaitu fraktal dan penamatannya sendiri yaitu atraktor ajaib. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan peningkatan lembah sungai.

Penggolongan

Seluruh himpunan Mandelbrot
Diperbesar 4x
Diperbesar 30x
Diperbesar 350x Himpunan Mandelbrot yang diperbesar 350 kali memperlihatkan detail yang mirip dengan himpunan utuhnya.

Fraktal bisa dikelompokkan dijadikan tiga kategori luas. Penggolongan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.

  • Sistem fungsi teriterasi — Misalnya yaitu himpunan Cantor, karpet Sierpinski, kurva Peano, bunga salju Koch, kurva naga Harter-Heighway, Kotak T, dan spons Menger.
  • Fraktal waktu lolos — Misalnya yaitu himpunan Mandelbrot dan fraktal Lyapunov.
  • Fraktal acak — Dihasilkan melewati ronde stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan Lévy.

Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Tidak kekurangan tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:

  • Serupa diri secara persis — Ini yaitu keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya kelihatan pas persis pada bermacam skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
  • Serupa diri secara lemah — Ini yaitu keserupa dirian yang tidak melampaui batas ketat. Fraktalnya kelihatan mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berlainan. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam wujud yang terdistorsi maupun rusak.
  • Serupa diri secara statistik — Ini yaitu kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya ada ukuran numeris atau statistik yang terbangun pada skala yang berlainan. Banyakan ruang lingkup fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu wujud keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri yaitu ukuran numeris yang nilainya terbangun pada bermacam skala. Fraktal acak yaitu contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, namun tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri yaitu fraktal — misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, namun pendapat bahwa benda-benda Euclid yaitu fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot bertukar akal bahwa ruang lingkup "fraktal" sama baiknya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", namun juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan ada sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.

Karena fraktal ada detail yang tak terhingga, tidak tidak kekurangan benda alami yang merupakan fraktal. Namun pada skala yang terbatas benda-benda dunia bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.

Ruang lingkup

Karakteristik fraktal, walaupun mudah dipahami secara intuitif, ternyata sangat sulit untuk dibuat ruang lingkup matematisnya. Mandelbrot mengartikan fraktal sebagai "himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya semakin agung dari dimensi topologisnya". Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya pas dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.

Masalah-masalah yang dihadapi masa mengartikan fraktal termasuk:

  • Tidak tidak kekurangan ruang lingkup matematis dari "terlalu tidak teratur".
  • Tidak tidak kekurangan ruang lingkup tunggal mengenai "dimensi".
  • Suatu benda mampu bersifat serupa diri dengan bermacam cara.
  • Tidak setiap fraktal didefinisikan secara rekursif.

Contoh

Julia set (highres 01).jpg

Pohon dan pakis yaitu contoh fractal di dunia dan mampu dimodel pada komputer menggunakan algoritma rekursif. Sifat rekursifnya bisa diamati dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan hendak kelihatan bahwa cabang tersebut yaitu miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak pas persis, namun mirip).

Contoh yang relatif sederhana yaitu himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin ada dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilang digit 7 dari ekspansi desimal, berproduksi himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.

Secara umum fraktal wujudnya acak-acakan (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung ada detail yang signifikan, kelihatan dalam skala berapapun; masa tidak kekurangan keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut hendak memperlihatkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.

Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran hendak kelihatan semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi kelihatan perbedaan selang lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran hendak memperlihatkan detail yang tidak kelihatan sebelumnya.

Beberapa contoh fraktal yang umum yaitu himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis kerap (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.

Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di dunia. Benda-benda tesebut memperlihatkan wujud frakral yang kompleks pada skala tertentu. Misalnya yaitu awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah.

Harrison (Inggris) [1] menambah luas kalkulus Newtonian ke domain fraktal, termasuk teorema Gauss, Green, dan Stokes.

Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Lihat daftarnya di bawah.

Fraktal acak ada kegunaan praktis yang terbesar karena mampu digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di dunia. Misalnya yaitu awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan bermacam disiplin sains.

  • Suatu himpunan Julia, fraktal yang berhubungan dengan himpunan Mandelbrot.

  • Fraktal alami yang dibuat dengan cara memisahkan lembaran akrilik yang telah dilem.

  • Keretakan karena voltase tingga pada akrilik setebal 4 inci berproduksi gambar Lichtenberg.

  • Percabangan fraktal pada DVD yang terkena radiasi gelombang mikro.

  • Brokoli yang merupakan fraktal alami.

  • Fraktal yang mirip bunga.

Aplikasi

Fraktal banyak diaplikasikan (Inggris) [2] pada bidang:

Rencana penghasil

Multi-platform

  • (Inggris) Xaos — Generator realtime — Windows, Mac, Linux, dan lain-lain
  • (Inggris) Fractint — Tersedia untuk beberapa agung platform
  • (Inggris) FLAM3 — Untuk mendesain dan merender iterated function system (IFS), tersedia untuk semua platform
  • (Inggris) Fract — Rencana berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal
  • (Inggris) Online Fractal Generator — Membutuhkan plugin Java2

Linux

  • (Inggris) Gnofract4d — Penyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus Fractint

Windows

Mac

  • (Inggris) Altivec Fractal Carbon — Rencana benchmark untuk Mac, menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan

MorphOS

  • (Inggris) Zone Explorer — Kamu mampu membikin rumus dan pewarnaan sendiri

Lihat pula

  • teori bifurkasi
  • efek kupu-kupu
  • teori chaos
  • kompleksitas
  • teori construktal
  • seni fraktal
  • landskap fraktal
  • metafisika fraktal
  • graftal
  • dimensi Hausdorff
  • Gaston Julia
  • Daftar publikasi matematika#Geometri fraktal
  • Benoît Mandelbrot
  • dinamika nonlinier
  • turbulensi

Pranala luar

Bacaan semakin terus

  • (Inggris) Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
  • (Inggris) Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
  • (Inggris) Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 038797903
  • (Inggris) Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
  • (Inggris) Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0


Sumber :
diskusi.biz, kategori-antropologi.gilland-group.com, wiki.edunitas.com, id.wikipedia.org, dan sebagainya.